Вероятностные и дискретные математические модели

Входные требования: Базовые знания в области теории вероятностей, математической статистики и программирования.

Зачетные единицы: 4

Семестр: 2

Курс: Основной

Язык курса: Английский

Цели

По окончании курса, студенты должны знать суть, ограничения, область применения и взаимосвязь изученных в курсе дисциплины математических моделей и методов. Уметь формулировать математические модели релевантные решаемым научным задачам в области моделирования процессов большого города. Применять изученные (или собственно разработанные) математические модели к научным проблемам в области науки о городе; разрабатывать простые компьютерные программы используя языки научно-инженерных вычислений (MATLAB или др.), системы компьютерной математики (Wolfram Mathematica или др.) и применять их анализа и решения поставленных задач; представлять полученные результаты и использованную методологию; критически оценивать валидность и обоснованность результатов.

Содержание

Одномерная и многомерная случайная величина, их характеристики; основные непрерывные и дискретные распределения; генераторная функция. Описание непрерывного и дискретного случайного процесса, теорема Колмогорова, строгая стационарность и стационарность в широком смысле, свойства АКФ, гауссовский процесс, дискретный белый шум. Понятие эргодичности, частичная эргодичность относительно среднего значения и АКФ для дискретного и непрерывного случайного процесса. Спектр мощности, формула Парсеваля, непрерывное и дискретное по времени преобразование Фурье, БПФ, свойства спектра мощности, связь с АКФ, теорема Винера-Хинчина, модель белого шума в непрерывном времени, кросс-корреляция и кросс-спектр. Фильтрация случайного процесса, непрерывные и дискретные инвариантные во времени линейные системы, Дифференцирование и интегрирование случайного процесса, модель случайного блуждания (Винеровский процесс). Модель АРСС и ее свойства, уравнения Юле-Волкера. Основы теории оценивания, характеристики оценок, методы оценивания среднего значения, АКФ и спектра. Оптимальная фильтрация, оцениватель по минимуму СКО, линейный оцениватель по минимуму СКО, Винеровский фильтр, Калмановский фильтр. Пуассоновский процесс и цепи Маркова. Процесс гибели-размножения. Введение в СМО, нотация Кендалла. Теорема Литтла и потоки заявок. Системы M/M/1. Системы M/M/m (Эрланга с ожиданием). Системы M/M/m/m (с потерями). Системы M/M/m/*/n (Энгсета с конечной популяцией). Системы с приоретизацией. Закрытые и открытые сети массового обслуживания (Джексона). Клеточные автоматы.

Формат

Лекции и лабораторные работы

Оценка

Форма оценки - устный экзамен - 40% и успешное выполнение лабораторных работ - 60%.